Uncertainty in Measurement & Significant Figures
1. Uncertainty in Measurement
유효숫자의 개념을 이해하기 위해서는 먼저 측정의 불확실성에 대해 알아야 한다.
못의 길이를 재기 위해 아래와 같이 자를 이용해 길이를 측정했다고 하자.
못의 길이는 대략 2.85cm인 것 같다. 이때 2.85라는 측정값에서 소수점 첫째 자리까지를 포함한 2.8은 확실한 값이다.
못의 길이는 2.8cm와 2.9cm 사이에 있기 때문이다. 그러나 소수점 셋째 자리인 "5"는 불확실한 값이다. 2.8과 2.9 중간에 있는 것 같아, 필자가 대강 때려 맞힌 값이기 때문이다.
이렇게 자를 포함한 비커, 뷰렛과 같은 측정 기구들을 이용할 때 측정값이 정확하게 눈금을 가리키지 않는 경우가 있고, 이때 우리는 어쩔 수 없이 어떤 숫자는 때려 맞혀야 하는 경우가 있다. 이것이 측정의 불확실성이다. 또한 우리의 눈으로 봤을 때 정확하게 눈금을 가리키고 있는 것 같아도 0.000001의 오차가 있을지는 아무도 모르는 것이다. 이렇게 모든 측정기구는 불확실성을 내포하고 있다는 것을 알아야 한다.
위에서 사용된 자는 0.1cm 단위로 나누어진 자이기 때문에 2.85라는 측정값 자체는 정확하지 않을 수 있지만, 소수점 첫째 자리까지는 확실한 값이다. (2.85cm에서 2.8까지는 정확한 값) 측정값이 정확하게 눈금에 맞지 않고 눈금과 눈금 사이에 있어도 때려 맞히는 부분은 소수점 둘째 짜리이므로 소수점 첫째 자리 까지는 확실한 값인 것이다. 같은 원리로 만약 자가 0.01cm 단위로 나누어진 자라면 소수점 둘째 짜리까지는 확실한 값이고, 소수점 셋째 자리는 때려맞춰야 하므로 불확실한 값이다.
2. Significant Figures
"The numbers recorded in a measurement (all the certain numbers plus the first uncertain number) are called significant figures"
"Significant figures란 측정기구를 통해 측정된 측정값중 모든 certain number와 첫번째 uncertain number까지를 포함하는 값이다"
2.85cm라고 필자가 측정한 값에서, 정확한 값인 2와 8을 certain numbers 라고 하며, 때려 맞힌 5는 uncertain number 라고 한다. 그리고 significant figures란 certain numbers와 첫 번째 uncertain number 까지를 포함하는 값이다. 여기서 "첫 번째" uncertain number까지만 포함한다는 것이 중요한 부분이다. 어떤 사람은 못의 길이를 2.8562cm라고 측정할 수도 있다. 그러나 이 사람이 측정한 2.8562에서도 2와 8은 확실하지만, 나머지 5, 6, 2는 그저 때려 맞힌 값이다. 이때 certain numbers는 2, 8 uncertain numbers는 5, 6, 2인데 유효숫자는 첫 번째 uncertain number까지만 포함하므로 2.8562에서도 유효숫자는 2, 8, 5이다.
여기서 주의해야 할 것은 지금 상황은 측정한 자의 눈금 단위가 0.1cm라는 것을 알고 있기 때문에 certain numbers와 uncertain numbers를 구별할 수 있다는 것이다. 밑에 서술하겠지만 아무 정보 없이 그냥 2.8562만 주어졌다면 유효숫자는 모든 정수인 2, 8, 5, 6, 2이다. 못을 재는 상황에서는 측정기구의 단위를 알기 때문에 certain numbers(소수점 첫째 자리까지)와 uncertain numbers를 구별할 수 있었지만, 어떤 측정기구를 이용했는지도 모른 채 그저 2.8562만 주어진다면 우리는 2, 8, 5, 6이 certain number, 마지막 2가 첫 번째 uncertain number라고 받아들여야 한다.
0.1cm 단위의 자로 못의 길이를 측정할 때, 측정값은 누가 재느냐에 따라 2.85cm라고 할 수도 있고, 2.867cm라고 할 수도 있고, 2.834567cm라고 할 수도 있다. 그러나 측정기구의 단위가 0.1cm라는 것을 알고 있기 때문에 3가지 측정값 모두 certain numbers는 동일하고 uncertain numbers의 개수와 종류가 다르다는 것을 알 수 있다. 그리고 significant number는 certain number와 첫 번째 uncertain number까지를 포함하므로 유효숫자는 각각 (2, 8, 5), (2, 8, 6) (2, 8, 3)인 것이다.
"유효"라는 단어 때문에 uncertain number를 포함하는 게 어색할 수도 있다. 하지만 첫 번째 uncertain number까지를 significant figures에 포함하는 이유는 측정의 불확실성을 나타내기 위해서이다. 실험 결과 보고서에 못의 길이가 2.85cm 라고 쓰여 있다면 못의 길이가 2.85cm구나 라고 받아들이는 것이 아니다. 0.1cm 단위로 나누어진 자로 측정한 것을 알고 있다면 2와 8이 확실한 값, 5가 불확실한 값이라고 받아들여야 한다. 다시 한번 강조하지만, 이것은 측정기구가 0.1cm 단위로 나누어져있다는 것을 알고 있을 때의 이야기이다.
3. How to Determine Significant Figures
측정의 불확실성에 의해 유효숫자라는 개념이 생긴 것을 알았다면 이제 유효숫자를 판별하는 법을 알아야 한다.
기본적으로 "0"이 아닌 모든 정수는 유효숫자로 취급하고 "0"은 종류에 따라 유효숫자로 판별되기도 하고 안되기도 한다. 일단 "0"이 아닌 정수로만 이루어진 숫자의 유효숫자를 알아보자
493에서 유효숫자는 몇 개인가? 3개이다. 무슨 측정기구를 이용했는지 아무 정보도 없기 때문에 우리는 그저 4와 9가 certain number, 3이 첫 번째 uncertain number라고 받아들일 수밖에 없다. 3 뒤에 더 많은 uncertain numbers가 있었는지 없었는지는 알 수 없지만 그저 3이 첫 번째 uncertain number라고 받아들이는 것이다. 그리고 significant figure는 이들을 포함하는 4, 9, 3인 것이다.
"0"을 포함하는 숫자의 유효숫자를 판별하기 전, "0"의 종류에 대해 알아보자
– Leading zeros: zeros that precede all of the nonzero digits (Not significant figures)
–Trailing zeros: zeros at the right end of the number. (Not significant figures, but are significant only if the number is written with a decimal point)
– Captive zeros: zeros that fall between nonzero digits (Are significant figures)
회색으로 표시된것은 "0"이 아닌 정수이므로 유효숫자O
노란색으로 표시된 것은 leading zero 이므로 유효숫자X
파란색으로 표시된 것은 trailing zero로 소수점 유무에 의해 유효숫자인지 아닌지 결정
초록색으로 표시된것은 captive zero 이므로 유효숫자O
309 → 3개 (3, 0, 9)
0.00204 → 3개 (2, 0, 4)
0.09080 → 4개 (9, 0, 8, 0) trailing zero가 소수점 오른쪽에 있으므로 유효숫자 O
0.00607 → 3개 (6, 0, 7)
100 → 1개 (1) trailing zeros가 있으나 소수점이 없으므로 유효숫자 X
100. → 3개 (1, 0, 0 ) trailing zeros가 소수점 왼쪽에 있으므로 유효숫자 O
200.0 → 4개 (2, 0, 0, 0) trailing zeros 모두 소수점 양옆에 있으므로 유효숫자 O
2020.0 → 5개 (2, 0, 2, 0, 0) trailing zeros 모두 소수점 양옆에 있으므로 유효숫자 O
430.098070 → 9개 (4, 3, 0, 0, 9, 8, 0, 7, 0) trailing zero가 소수점 오른쪽에 있으므로 유효숫자 O
참고로 Scientific Notation으로 표기되어 있을 경우 A × 10ⁿ ( 1≤A<10, n은 정수) 형태로 되어있을텐데,
이때는 위에 규칙과 상관없이 A에 있는 모든 숫자를 유효 숫자로 취급한다.
4. Rounding Off Numbers
" The number of significant figures in the result is the same as that in the measurement with the smallest number of significant figures"
Rounding off의 가장 기본적인 규칙은 계산 결과를 round off 할 때 연산했던 값 중 가장 작은 유효숫자만큼 round off 하는 것이다. 이때 반올림, 내림만 주의하면 된다. 다만, 이 규칙은 곱셈과 나눗셈에만 해당된다.
(1) 3.5×4.73 = 16.555 → 16
3.5는 유효숫자 2개, 4.73는 유효숫자 3개이므로 계산 결과를 round off 하면 17
(2) 34.278÷1.234 = 27.7779579 → 27.78
34.278은 유효숫자 5개, 1.234는 유효숫자 4개이므로 계산 결과를 round off 하면 27.78.
(3) 51×2.6= 132.6 → 130
51은 유효숫자 2개, 2.6은 유효숫자 2개이므로 계산 결과를 round off 하면 130 (130은 유효숫자가 2개이다)
(4) (1.3 ×10²) ×(4.68 × 10³)
=(1.3 ×4.68) ×10⁵
=6.084 × 10⁵ → 6.1 ×10⁵
1.3은 유효숫자 2개, 4.68은 유효숫자 3개이므로 계산 결과를 round off 하면 6.1 ×10⁵